Cum optimizează algoritmul Rotosolve parametrii ( θ ) în VQE și care sunt pașii cheie implicați în acest proces de optimizare?

/ / Publicat în Inteligența artificială , EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning, Eigensolver cuantic variațional (VQE), Optimizarea VQE-urilor cu Rotosolve în Tensorflow Quantum, Revizuirea examenului

Algoritmul Rotosolve este o tehnică de optimizare specializată concepută pentru a optimiza parametrii θ în cadrul Variational Quantum Eigensolver (VQE). VQE este un algoritm hibrid cuantic-clasic care își propune să găsească energia stării fundamentale a unui sistem cuantic. O face prin parametrizarea unei stări cuantice cu un set de parametri clasici θ și utilizarea unui optimizator clasic pentru a minimiza valoarea așteptată a Hamiltonianului sistemului. Algoritmul Rotosolve vizează în mod specific optimizarea acestor parametri mai eficient decât metodele tradiționale.

Pași cheie implicați în optimizarea Rotosolve

1. Parametrizare inițială:
La început, parametrii θ sunt inițializate. Acești parametri definesc starea cuantică |ψ(θ)⟩ care va fi folosit pentru a aproxima starea fundamentală a hamiltonianului H. Alegerea parametrilor inițiali poate fi aleatorie sau bazată pe unele euristice.

2. Descompunerea funcției obiective:
Funcția obiectiv în VQE este de obicei valoarea așteptată a Hamiltonianului:

    \[ E(θ) = ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩ \]

Algoritmul Rotosolve profită de faptul că funcția obiectiv poate fi adesea descompusă într-o sumă de funcții sinusoidale în raport cu fiecare parametru. Acest lucru este deosebit de eficient atunci când ansatz (funcția de undă de încercare) este compusă din rotații în jurul sferei Bloch.

3. Optimizare cu un singur parametru:
Ideea de bază a Rotosolve este de a optimiza un parametru la un moment dat, păstrându-i pe ceilalți fix. Pentru un parametru dat θ_i, funcția obiectiv poate fi exprimată astfel:

    \[ E(θ) = A \cos(θ_i) + B \sin(θ_i) + C \]

Unde A, B și C sunt coeficienți care depind de ceilalți parametri fixați și de Hamiltonian.

4. Găsirea unghiului optim:
Având în vedere forma sinusoidală a funcției obiectiv în raport cu θ_i, valoarea optimă pentru θ_i poate fi găsită analitic. Minimul funcției A \cos(θ_i) + B \sin(θ_i) + C are loc la:

    \[ θ_i^{\text{opt}} = \arctan2(B, A) \]

Aici, \arctan2 este funcția arctangentă cu două argumente, care ține cont de semnele ambelor A și B pentru a determina cadranul corect al unghiului.

5. Actualizare iterativă:
După găsirea valorii optime pentru θ_i, parametrul este actualizat, iar procesul se repetă pentru următorul parametru. Acest proces iterativ continuă până la atingerea convergenței, ceea ce înseamnă că modificările parametrilor au ca rezultat modificări neglijabile ale funcției obiectiv.

Exemplu

Luați în considerare o configurare VQE simplă cu un sistem de doi qubiți și un hamiltonian H = Z_1 Z_2 + X_1. Ansatz-ul ar putea fi o serie de rotații parametrizate, cum ar fi:

    \[ |ψ(θ)⟩ = R_y(θ_1) ⊗ R_y(θ_2) |00⟩ \]

Unde R_y(θ) este o rotație în jurul axei Y după unghi θ.

1. Inițializarea:
Să inițializam θ_1 = 0 și θ_2 = 0.

2. Descompunere:
Valoarea așteptărilor ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩ pot fi descompuse în funcţii sinusoidale în raport cu fiecare parametru.

3. Optimizați θ_1:
Repara θ_2 = 0 și optimizați θ_1. Valoarea așteptărilor poate fi scrisă ca:

    \[ E(θ_1, 0) = A_1 \cos(θ_1) + B_1 \sin(θ_1) + C_1 \]

calculati A_1, B_1 și C_1 bazat pe starea cuantică și Hamiltonian. Găsi θ_1^{\text{opt}} = \arctan2(B_1, A_1).

4. Actualizează θ_1:
Actualizează θ_1 la θ_1^{\text{opt}}.

5. Optimizați θ_2:
Repara θ_1 = θ_1^{\text{opt}} și optimizați θ_2. Valoarea așteptărilor poate fi scrisă ca:

    \[ E(θ_1^{\text{opt}}, θ_2) = A_2 \cos(θ_2) + B_2 \sin(θ_2) + C_2 \]

calculati A_2, B_2 și C_2 pe baza parametrilor actualizați și Hamiltonian. Găsi θ_2^{\text{opt}} = \arctan2(B_2, A_2).

6. Actualizează θ_2:
Actualizează θ_2 la θ_2^{\text{opt}}.

7. Repeta:
Repetați procesul pentru θ_1 și θ_2 până când parametrii converg către valori care minimizează funcţia obiectiv.

Avantajele Rotosolve

- Optimizare analitică: Algoritmul Rotosolve valorifică natura sinusoidală a funcției obiectiv în raport cu fiecare parametru, permițând soluții analitice mai degrabă decât să se bazeze doar pe metode numerice.
- Eficiență:: Prin optimizarea câte un parametru, Rotosolve poate fi mai eficient decât metodele bazate pe gradient, în special în spațiile parametrilor cu dimensiuni mari.
- Convergenţă: Algoritmul converge adesea mai rapid către starea de energie minimă datorită abordării sale vizate în optimizarea parametrilor.

Implementare în TensorFlow Quantum

TensorFlow Quantum (TFQ) oferă un cadru pentru integrarea calculului cuantic cu învățarea automată prin TensorFlow. Implementarea algoritmului Rotosolve în TFQ implică următorii pași:

1. Definiți circuitul cuantic:
Utilizați TFQ pentru a defini circuitul cuantic parametrizat (ansatz). De exemplu:

python
   import tensorflow as tf
   import tensorflow_quantum as tfq
   import cirq

   qubits = [cirq.GridQubit(0, 0), cirq.GridQubit(0, 1)]
   circuit = cirq.Circuit()
   circuit.append(cirq.ry(tfq.util.create_symbol('θ1')).on(qubits[0]))
   circuit.append(cirq.ry(tfq.util.create_symbol('θ2')).on(qubits[1]))

2. Definiți hamiltonianul:
Definiți Hamiltonianul pentru sistemul cuantic. De exemplu:

python
   hamiltonian = cirq.Z(qubits[0]) * cirq.Z(qubits[1]) + cirq.X(qubits[0])

3. Creați stratul de așteptări:
Creați un strat pentru a calcula valoarea așteptată a Hamiltonianului.

python
   expectation_layer = tfq.layers.Expectation()

4. Definiți funcția de obiectiv:
Definiți funcția obiectivă în funcție de valoarea așteptărilor.

python
   def objective_function(θ):
       return expectation_layer(circuit, symbol_names=['θ1', 'θ2'], symbol_values=θ, operators=hamiltonian)

5. Implementați algoritmul Rotosolve:
Implementați algoritmul Rotosolve pentru a optimiza parametrii θ.

{{EJS9}}
Concluzie

Algoritmul Rotosolve oferă o metodă puternică de optimizare a parametrilor din cadrul Variational Quantum Eigensolver. Prin valorificarea naturii sinusoidale a funcției obiectiv în raport cu fiecare parametru, Rotosolve realizează o convergență eficientă și adesea mai rapidă în comparație cu metodele tradiționale de optimizare. Implementarea sa în TensorFlow Quantum exemplifică integrarea calculului cuantic cu învățarea automată, deschizând calea pentru algoritmi și aplicații cuantice mai avansate.
Alte întrebări și răspunsuri recente cu privire la EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning:
Vedeți mai multe întrebări și răspunsuri în EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning
Mai multe întrebări și răspunsuri:
Etichetat sub: , , , , ,